昨日更新し忘れてすみません。
プラウダスでは7月21日(土)より最大20日間に及ぶ夏期講習が始まろうとしています。
その準備で・・・。以上言い訳でした。
私は現在、小学1年生から高校3年生までのすべての学年の算数及び数学を担当しています。
そこで感じるのが、中学受験算数の必要性。
やるやらないでは特に算数においては、差がはっきり出る科目ではないかと思っています。
中学数学を教えていて度々思うのが、ただの小学校までの算数を難しく言い換えただけの内容で、真に数学と呼べるような単元はこれといってない感じがしています。
この薄っぺらい数学を3年間学んだところで、中学受験をして、中学から本格的数学を学ぶ子供たちには到底かないません。
一方で中学受験算数はというと、これは深いです。
中学受験の算数の醍醐味はなんといっても、高校数学に直結する考え方が多いこと。
特に整数問題に関しては、高校3年生に出題しても解けない問題があったりする良問揃いです。
これらの問題を理解するところまで達すれば問題はありませんが、理解が不十分であったとしても、その経験値の差は必ず出てきます。
かといって、中学受験を必ずしなければならないというわけではありません。
するしないは自由ですからね。
ただ、小学生という頭の柔らかい時期に、様々な柔軟な発想を必要とする問題に触れておく必要があるということ。小学生の6年間が無駄にならないよう、私は指導していきたいと思います。
<今日の問題>
今日は開成中学校の問題です。
3、5、7、8 の4つの数字と+、－、×、÷ の4つの記号と()を使って、1～10になる式を作りなさい。
使わない記号があっても構いませんし、()も特に使わなくてもよいですが1回しか使えません。
数字の順番も並び替えていいものとします。数字は全部使ってください。
例 (3+5‐7)×8＝8 となる。
2012年7月5日木曜日
2012年7月1日日曜日
バースデイ
本日は僭越ながら私のお誕生日です。
こんな時も、算数のことを考えるんですが、7月1日が日曜日だったのは私自身が小学生のころにあったのを覚えています。
暦は、基本的に一年を365日としています。4年に一度、西暦が4の倍数の時はうるう年といって、一年が366日になります。またうるう年は複雑で、西暦が100の倍数の時は、4の倍数ですが、うるう年ではありません。しかし、400の倍数の時は、うるう年として数えます。
つまり、2000年は100の倍数ですが、400の倍数でもあるのでうるう年ですが、2100年は100の倍数でしかないので、うるう年ではないということになります。
まあ、私ぐらいの年の人間が2100年まで生きるとは考えにくいので、うるう年の複雑なルールは一旦おいておきましょう。
さて、1週間というのは7日で月、火、水、木、金、土、日の繰り返しです。
私の1年が今日から始まったとして、次の私の誕生日は今日から数えて366日目になります。
今日からの曜日のサイクルは日、月、火、水、木、金、土ですから366÷7＝52…2
つまり52個のサイクルとあと2日目が私の誕生日ということですから、来年の私の誕生日は月曜日となります。これは、プラウダスでは小学校4年生で学習する周期算と呼ばれるものです。
うるう年をまたがない場合、自分の誕生日の曜日は1つ先に進むということがわかります。
ということは次に私の誕生日が日曜日になるのは7年後？
いやいや、そういうわけにはいきません。うるう年をまたぐ場合は1日多いので曜日が2つ進むことになります。
2012 7月1日 日曜日
2013 7月1日 月曜日
2014 7月1日 火曜日
2015 7月1日 水曜日
2016 7月1日 金曜日 うるう年をまたぐので
2017 7月1日 土曜日
2018 7月1日 日曜日
実に6年後のこととなります。
今回はうるう年のおかげで、木曜日を飛ばして数えることができ実際の予想年数(7年後)より少なくて済みました。一年間で進める曜日を1や2の数字で表すと1+1+1+2+1+1＝7となり6年後に和が7の倍数になっていますね。
ただ、うるう年が、日曜日を飛ばすことになると、どうでしょう。日曜日が私の誕生日となるのは7年後より遅くなります。
2018 7月1日 日曜日
2019 7月1日 月曜日
2020 7月1日 水曜日 うるう年をまたぐので
2021 7月1日 木曜日
2022 7月1日 金曜日
2023 7月1日 土曜日
2024 7月1日 月曜日 うるう年をまたぐので あっ、日曜日が飛びましたね・・・
2025 7月1日 火曜日
2026 7月1日 水曜日
2027 7月1日 木曜日
2028 7月1日 土曜日 うるう年をまたぐので
2029 7月1日 日曜日
あぁ、なんと2018年から12年後のこととなりました。
次は・・・と数えていくと、私が生きている間にあと何回7月1日が日曜日になるのか数えることができますね。
次は1+1+2+1+1+1＝7となるからさらに6年後の2035年
さらに次は2+1+1+1+2＝7となるから5年後の2040年 まだ生きる！！
さらに1+1+1+2+1+1＝7で6年後の2046年 そろそろおじいさんか・・・
さらに1+2+1+1+1+2+1+1+1+2+1＝14で11年後の2057年 もうちょっと生きようかな
さらに1+1+2+1+1+1＝7で6年後の2063年 もういいでしょ・・・
といった具合に、私の今後の人生で7月1日が日曜日になるのはあと7回ということがわかりました。
調べて何か得するというわけではありませんが、暦が周期的に変化することを利用して未来の曜日を調べてみる。なにかわくわくしませんか？
こんな時も、算数のことを考えるんですが、7月1日が日曜日だったのは私自身が小学生のころにあったのを覚えています。
暦は、基本的に一年を365日としています。4年に一度、西暦が4の倍数の時はうるう年といって、一年が366日になります。またうるう年は複雑で、西暦が100の倍数の時は、4の倍数ですが、うるう年ではありません。しかし、400の倍数の時は、うるう年として数えます。
つまり、2000年は100の倍数ですが、400の倍数でもあるのでうるう年ですが、2100年は100の倍数でしかないので、うるう年ではないということになります。
まあ、私ぐらいの年の人間が2100年まで生きるとは考えにくいので、うるう年の複雑なルールは一旦おいておきましょう。
さて、1週間というのは7日で月、火、水、木、金、土、日の繰り返しです。
私の1年が今日から始まったとして、次の私の誕生日は今日から数えて366日目になります。
今日からの曜日のサイクルは日、月、火、水、木、金、土ですから366÷7＝52…2
つまり52個のサイクルとあと2日目が私の誕生日ということですから、来年の私の誕生日は月曜日となります。これは、プラウダスでは小学校4年生で学習する周期算と呼ばれるものです。
うるう年をまたがない場合、自分の誕生日の曜日は1つ先に進むということがわかります。
ということは次に私の誕生日が日曜日になるのは7年後？
いやいや、そういうわけにはいきません。うるう年をまたぐ場合は1日多いので曜日が2つ進むことになります。
2012 7月1日 日曜日
2013 7月1日 月曜日
2014 7月1日 火曜日
2015 7月1日 水曜日
2016 7月1日 金曜日 うるう年をまたぐので
2017 7月1日 土曜日
2018 7月1日 日曜日
実に6年後のこととなります。
今回はうるう年のおかげで、木曜日を飛ばして数えることができ実際の予想年数(7年後)より少なくて済みました。一年間で進める曜日を1や2の数字で表すと1+1+1+2+1+1＝7となり6年後に和が7の倍数になっていますね。
ただ、うるう年が、日曜日を飛ばすことになると、どうでしょう。日曜日が私の誕生日となるのは7年後より遅くなります。
2018 7月1日 日曜日
2019 7月1日 月曜日
2020 7月1日 水曜日 うるう年をまたぐので
2021 7月1日 木曜日
2022 7月1日 金曜日
2023 7月1日 土曜日
2024 7月1日 月曜日 うるう年をまたぐので あっ、日曜日が飛びましたね・・・
2025 7月1日 火曜日
2026 7月1日 水曜日
2027 7月1日 木曜日
2028 7月1日 土曜日 うるう年をまたぐので
2029 7月1日 日曜日
あぁ、なんと2018年から12年後のこととなりました。
次は・・・と数えていくと、私が生きている間にあと何回7月1日が日曜日になるのか数えることができますね。
次は1+1+2+1+1+1＝7となるからさらに6年後の2035年
さらに次は2+1+1+1+2＝7となるから5年後の2040年 まだ生きる！！
さらに1+1+1+2+1+1＝7で6年後の2046年 そろそろおじいさんか・・・
さらに1+2+1+1+1+2+1+1+1+2+1＝14で11年後の2057年 もうちょっと生きようかな
さらに1+1+2+1+1+1＝7で6年後の2063年 もういいでしょ・・・
といった具合に、私の今後の人生で7月1日が日曜日になるのはあと7回ということがわかりました。
調べて何か得するというわけではありませんが、暦が周期的に変化することを利用して未来の曜日を調べてみる。なにかわくわくしませんか？
2012年6月29日金曜日
2012年6月27日水曜日
必要条件と十分条件
今日はマジメな教育論を一つ。
みなさん必要条件と十分条件という言葉をご存知でしょうか。
この言葉、高校数学の数学Aという分野に含まれている、高校生があまり好きでない単元の一つです。
まず、このお話をする前に、命題という言葉を説明しなければなりません。命題というのは、正しいか正しくないか判断できる議論のことを言います。
一般的に数学の世界では、何をあてはめても成り立つ場合、それを真、つまり正しいといい、何か一つでも当てはまらないことがあれば、それを偽、つまり正しくないといいます。
ここにAならばBという命題が存在していたとします。
この命題の真偽を考えた場合、例えば、Aという条件を満たすならばBはすべて成り立つということ、つまり真としておきます。また、Bという条件に対してAはいつでも成り立つものもあるがいつでも成り立っているというわけではないとき、この場合AはBに対する「十分条件」といい、BはAに対する「必要条件」といいます。
十分条件Aを満たす内容であればいつでもBが成り立ちますが、必要条件Bを満たす内容であったとしても、Aが成り立つとは限りません。
また、Aという条件を満たすならばBはすべて成り立つという前提で、Bという条件のもとAをいつも満たしているのであれば、AはBの必要十分条件といいます。
少し、文章が長くなってきたので、図で説明を。
まあこんな感じですね。
これを受験というものに置き換えて考えてみましょう。
例えば、参考書を選ぶとき、「東大生が選んだ東大に受かる参考書」なるものがあったとします。
この参考書を買おうか買わまいか迷ったとして、この参考書をやるならば東大に受かるという命題を作ったとします。この場合、参考書をやる=A 東大に受かる=Bとします。
作っている側は、東大に受かった人たちが選んだものをピックアップしているだけですが、実際に東大に受かった人しかいないわけですから、BならばAが成り立っているものとしましょう。では東大に受かるならば、この参考書をやるという目線で考えるとどうでしょう。東大に受かっている生徒全員がこの参考書をやっていればそれは真となりますが、やはりそうではないので、偽となります。
つまり、参考書をやるということは必要条件であり、東大に受かるというのは十分条件となります。
なるほど、先ほど述べたように、十分条件を満たしていれば、必ず成立しますから、その条件はと・・・・、東大生であること。いやいや、まだ受かってないですから。参考書をやるということは必要条件に過ぎないのです。
といった具合に、実は買う側の目線に立ってみれば、必要条件であることばかりで、十分条件を満たすような参考書なんてこの世に存在しないのかもしれません。ましてや、必要十分条件になる参考書なんてもってのほか、見つかるわけもありません。
そんな参考書があるのならば、ぜひ教えていただきたいですね。
参考書は十分条件を満たさない限り、受験に合格するため一方法であり、その方法が万人に当てはまるというわけではありません。
これを突き詰めていけば、教育が方法論となってしまい、子供は考える力を失っていきます。
できれば、その方法というのは自分で発見し、オリジナリティーの持ったものであってほしいと願います。そのヒントをあげるのが、塾講師の役目であり、参考書の役目であってほしいと私は願います。と同時に、プラウダスが、合格のための必要十分条件となる塾になれるよう日々努力していきたいと思います。
みなさんも参考書を選ぶことがあったら、自分にとって必要条件なのか、十分条件なのか考えてみてくださいね。
みなさん必要条件と十分条件という言葉をご存知でしょうか。
この言葉、高校数学の数学Aという分野に含まれている、高校生があまり好きでない単元の一つです。
まず、このお話をする前に、命題という言葉を説明しなければなりません。命題というのは、正しいか正しくないか判断できる議論のことを言います。
一般的に数学の世界では、何をあてはめても成り立つ場合、それを真、つまり正しいといい、何か一つでも当てはまらないことがあれば、それを偽、つまり正しくないといいます。
ここにAならばBという命題が存在していたとします。
この命題の真偽を考えた場合、例えば、Aという条件を満たすならばBはすべて成り立つということ、つまり真としておきます。また、Bという条件に対してAはいつでも成り立つものもあるがいつでも成り立っているというわけではないとき、この場合AはBに対する「十分条件」といい、BはAに対する「必要条件」といいます。
十分条件Aを満たす内容であればいつでもBが成り立ちますが、必要条件Bを満たす内容であったとしても、Aが成り立つとは限りません。
また、Aという条件を満たすならばBはすべて成り立つという前提で、Bという条件のもとAをいつも満たしているのであれば、AはBの必要十分条件といいます。
少し、文章が長くなってきたので、図で説明を。
まあこんな感じですね。
これを受験というものに置き換えて考えてみましょう。
例えば、参考書を選ぶとき、「東大生が選んだ東大に受かる参考書」なるものがあったとします。
この参考書を買おうか買わまいか迷ったとして、この参考書をやるならば東大に受かるという命題を作ったとします。この場合、参考書をやる=A 東大に受かる=Bとします。
作っている側は、東大に受かった人たちが選んだものをピックアップしているだけですが、実際に東大に受かった人しかいないわけですから、BならばAが成り立っているものとしましょう。では東大に受かるならば、この参考書をやるという目線で考えるとどうでしょう。東大に受かっている生徒全員がこの参考書をやっていればそれは真となりますが、やはりそうではないので、偽となります。
つまり、参考書をやるということは必要条件であり、東大に受かるというのは十分条件となります。
なるほど、先ほど述べたように、十分条件を満たしていれば、必ず成立しますから、その条件はと・・・・、東大生であること。いやいや、まだ受かってないですから。参考書をやるということは必要条件に過ぎないのです。
といった具合に、実は買う側の目線に立ってみれば、必要条件であることばかりで、十分条件を満たすような参考書なんてこの世に存在しないのかもしれません。ましてや、必要十分条件になる参考書なんてもってのほか、見つかるわけもありません。
そんな参考書があるのならば、ぜひ教えていただきたいですね。
参考書は十分条件を満たさない限り、受験に合格するため一方法であり、その方法が万人に当てはまるというわけではありません。
これを突き詰めていけば、教育が方法論となってしまい、子供は考える力を失っていきます。
できれば、その方法というのは自分で発見し、オリジナリティーの持ったものであってほしいと願います。そのヒントをあげるのが、塾講師の役目であり、参考書の役目であってほしいと私は願います。と同時に、プラウダスが、合格のための必要十分条件となる塾になれるよう日々努力していきたいと思います。
みなさんも参考書を選ぶことがあったら、自分にとって必要条件なのか、十分条件なのか考えてみてくださいね。
2012年6月24日日曜日
二進法って便利 麻布中学の問題からの発展2
さて、前回は二進法が十進法より情報量が少なく確実に表現できることをお伝えしました。
今回は二進法がデジタルの世界で、どのように使われているのか考えてみましょう。
デジタルは大ざっぱに言えば、0と1だけでできる信号をコンピューターに伝える技術です。具体例に「色の表現」を使いながら考えていきましょう。
色は光の三原色、色の三原色にに分けることができます。光の三原色はテレビやパソコンなどのディスプレイで用いられるもの、色の三原色は絵の具で用いられるものです。
パソコンのディスプレイなどでは光の三原色が用いられており、その三原色は、赤、青、緑の三色です。これら三色の光を混ぜ合わせれば混ぜ合わせるほど、光の持つエネルギーが大きくなるため、加法混色と呼ばれています。このとき、これら3つの色が混ぜ合わさった色を白色、何も混ざってない色は黒色になります。
この光の三原色を用いて各々の色の光の強さを調整し、混ぜ合わせると、ほぼすべての色を表現することが可能です。
現在では調整の度合いが、それぞれの色で0～255までの256段階となっており、赤も256通りの赤が選べ、緑色も256通り、青も256通り選ぶことができますから、この方法で表現できる色は実に
256×256×256＝16777216通りにもなり、これを「フルカラー表示」といいます。例えばB（青）102 G（緑）102 R（赤）224 とすればそれらが合わさった色が表現されるということです。人間の目はおよそ、700万色～1000万色を認識しているといわれ、この表現方法で十分だということもわかっています。
画像を認識する際、まずその表示したい画像をピクセルという小さなスペースに分割します。
日本では例えば、縦を320等分、横を480等分した場合、この一つ分を1ピクセルといい、320×480ピクセルという表現をします。すなわち、これらの数字が大きければ大きいほど、細かく分けられており、画像が鮮明になるということになります。
そのピクセル一つ一つには各色をどのように表示するのかという情報が書き込まれておりそれをビットと呼びます。1ビットというのは0か1、赤色1ビットであれば赤を使う（1）使わない（0）の2通りの命令を受け取ることができます。命令はすべて0と1の数字を使う二進法でやり取りされ、その桁数をビットと呼んでいるわけです。8ビットであれば8ケタの0か1を使った数字で命令できるということになりますね。10110100という色は十進法に直すと128+32+16+4＝190番目の色ということになります。8ビットあればある色を0～255の256段階で表現することができますので、三色ありますから一つのピクセルが8×3＝24ビットあれば、人間は画像をきれいだと認識することができます。
実際はもっと三色の要素以外に、透明度の情報も持たせて32ビットとなっています。
印刷会社では、48ビットの画像を用いたりもしますが。
このようにして、このピクセル一つ一つに色を割り当てたものが画像として認識されるのです。
数字が情報になるって不思議なことですが、0と1を使えばこうも簡単に表現できるわけです。
とはいえ、コンピューターの進化があってこそのお話ですけどね。
みなさんも、二進法の世界に一歩足を踏み入れてはいかがでしょう。
今回は二進法がデジタルの世界で、どのように使われているのか考えてみましょう。
デジタルは大ざっぱに言えば、0と1だけでできる信号をコンピューターに伝える技術です。具体例に「色の表現」を使いながら考えていきましょう。
色は光の三原色、色の三原色にに分けることができます。光の三原色はテレビやパソコンなどのディスプレイで用いられるもの、色の三原色は絵の具で用いられるものです。
パソコンのディスプレイなどでは光の三原色が用いられており、その三原色は、赤、青、緑の三色です。これら三色の光を混ぜ合わせれば混ぜ合わせるほど、光の持つエネルギーが大きくなるため、加法混色と呼ばれています。このとき、これら3つの色が混ぜ合わさった色を白色、何も混ざってない色は黒色になります。
この光の三原色を用いて各々の色の光の強さを調整し、混ぜ合わせると、ほぼすべての色を表現することが可能です。
現在では調整の度合いが、それぞれの色で0～255までの256段階となっており、赤も256通りの赤が選べ、緑色も256通り、青も256通り選ぶことができますから、この方法で表現できる色は実に
256×256×256＝16777216通りにもなり、これを「フルカラー表示」といいます。例えばB（青）102 G（緑）102 R（赤）224 とすればそれらが合わさった色が表現されるということです。人間の目はおよそ、700万色～1000万色を認識しているといわれ、この表現方法で十分だということもわかっています。
画像を認識する際、まずその表示したい画像をピクセルという小さなスペースに分割します。
日本では例えば、縦を320等分、横を480等分した場合、この一つ分を1ピクセルといい、320×480ピクセルという表現をします。すなわち、これらの数字が大きければ大きいほど、細かく分けられており、画像が鮮明になるということになります。
そのピクセル一つ一つには各色をどのように表示するのかという情報が書き込まれておりそれをビットと呼びます。1ビットというのは0か1、赤色1ビットであれば赤を使う（1）使わない（0）の2通りの命令を受け取ることができます。命令はすべて0と1の数字を使う二進法でやり取りされ、その桁数をビットと呼んでいるわけです。8ビットであれば8ケタの0か1を使った数字で命令できるということになりますね。10110100という色は十進法に直すと128+32+16+4＝190番目の色ということになります。8ビットあればある色を0～255の256段階で表現することができますので、三色ありますから一つのピクセルが8×3＝24ビットあれば、人間は画像をきれいだと認識することができます。
実際はもっと三色の要素以外に、透明度の情報も持たせて32ビットとなっています。
印刷会社では、48ビットの画像を用いたりもしますが。
このようにして、このピクセル一つ一つに色を割り当てたものが画像として認識されるのです。
数字が情報になるって不思議なことですが、0と1を使えばこうも簡単に表現できるわけです。
とはいえ、コンピューターの進化があってこそのお話ですけどね。
みなさんも、二進法の世界に一歩足を踏み入れてはいかがでしょう。
2012年6月22日金曜日
二進法って便利 麻布中学の問題からの発展1
この麻布中学の問題、111111111111のように1や0しか使わない数は二進法で出てくる数字です。ここで出てくる111111111111は十進法の数として出ていますが、テーマを変えて1と0しか使わない数字、つまり、2進法について考えてみましょう。
2進法は小学5年生の後期で学習しますが、どんなものだったのか、まずおさらい。
普段の生活で使う数字は10進法と呼ばれるもので、0～9までの数を使ってすべての数を表現する技法です。0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11・・・。10は1と0の数字を使って表していますよね。
その他に、1日は24進法（場合によっては12進法）、時間は60進法で数えたり、知らず知らずのうちにいろいろな数の数え方が生活にしみついています。
要は、何を束にするのかということです。5個を1つの束として考えていくのであれば5進法ですしね。2進法というのは2個を1つの束として数えていく方法で、2つ集まると1つと数えますから、使う数字は0と1のみになります。
例えば、1は2進法では1、2は2進法で表すと、束が1つできているので繰り上がって10となります。
同様にすると3は11、4は100となります。このとき、数字は百とか十一とか読まないようにしてくださいね。その読み方は10進法のものですから、イチゼロとかイチゼロゼロとか読みます。
ざっくり話せばこんな感じです。
二進法は、コンピューターの世界では必須の数え方です。所謂、「デジタル」と呼ばれるもので、現代には欠かせないものとなっています。
デジタルはコンピューターに「1と0の信号」で命令することです。
情報をやり取りする上でミスは致命的です。
コンピューターが数字を処理する場合、認識するという意味で、十進法で処理することはより高度であり、かつミスが起きやすい方法です。
例えば、2ケタまでの数を表示するためにランプを使って表現することを考えます。
これを十進法で表現するためには、十の位の0～9の数字を表現するための10個のランプと一の位の0～9の数字を表現するための10個のランプの合計20個のランプが必要になります。
これを二進法で表現するためには、上の図からも分かるように７個のランプで済んでしまいます。
上の図を見てわかるように、ランプ＝命令と考えると、二進法の方がはるかに少ない命令でたくさんの数字を表せることがわかりますね。二進法を十進法に直す作業が面倒くさいじゃないかという話も出てきますが、それは人間目線であって、コンピューターは本来計算するのが得意ですから、命令を受け取ることに比べれば、計算することなんて容易いことなんです。
2進法は小学5年生の後期で学習しますが、どんなものだったのか、まずおさらい。
普段の生活で使う数字は10進法と呼ばれるもので、0～9までの数を使ってすべての数を表現する技法です。0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11・・・。10は1と0の数字を使って表していますよね。
その他に、1日は24進法（場合によっては12進法）、時間は60進法で数えたり、知らず知らずのうちにいろいろな数の数え方が生活にしみついています。
要は、何を束にするのかということです。5個を1つの束として考えていくのであれば5進法ですしね。2進法というのは2個を1つの束として数えていく方法で、2つ集まると1つと数えますから、使う数字は0と1のみになります。
例えば、1は2進法では1、2は2進法で表すと、束が1つできているので繰り上がって10となります。
同様にすると3は11、4は100となります。このとき、数字は百とか十一とか読まないようにしてくださいね。その読み方は10進法のものですから、イチゼロとかイチゼロゼロとか読みます。
ざっくり話せばこんな感じです。
二進法は、コンピューターの世界では必須の数え方です。所謂、「デジタル」と呼ばれるもので、現代には欠かせないものとなっています。
デジタルはコンピューターに「1と0の信号」で命令することです。
情報をやり取りする上でミスは致命的です。
コンピューターが数字を処理する場合、認識するという意味で、十進法で処理することはより高度であり、かつミスが起きやすい方法です。
例えば、2ケタまでの数を表示するためにランプを使って表現することを考えます。
これを十進法で表現するためには、十の位の0～9の数字を表現するための10個のランプと一の位の0～9の数字を表現するための10個のランプの合計20個のランプが必要になります。
これを二進法で表現するためには、上の図からも分かるように７個のランプで済んでしまいます。
上の図を見てわかるように、ランプ＝命令と考えると、二進法の方がはるかに少ない命令でたくさんの数字を表せることがわかりますね。二進法を十進法に直す作業が面倒くさいじゃないかという話も出てきますが、それは人間目線であって、コンピューターは本来計算するのが得意ですから、命令を受け取ることに比べれば、計算することなんて容易いことなんです。
2012年6月21日木曜日
解答のお時間です。
(1)
どうだったでしょう。実際に割り算をしてみれば割り切れるか割り切れないかすぐに判別はつきます。筆算をして気づくと思いますが、1が12個並んだ数を割り切る1しか使わない数は12を割り切る数だけ1を並べたものに限ります。
ということは、12の約数である、1,2,3,4,6,12個、1を並べた数はすべて約数になります。
答 1、11、111、1111、111111、111111111111は約数で、それ以外は約数ではない。
(2)
まず、考えなければいけないのは、約数の約数は約数であるということ（①）。
んん？とお思いの方はこういうことです。
例えば、18の約数の1つである9について考えます。また、9の約数には1,3,9が考えられます。この9の約数はすべて18を割り切ることができるので18の約数が9の約数になっていることが確認できました。
もうひとつ、元の数を約数で割った商も元の数の約数となるということ（②）。
例えば、28の約数の1つである4で28を割ってみると28÷4＝7となります。この7という商は・・・、28の約数になっていますね。これは検算してみるとわかりやすいでしょう。28＝4×7という式からも分かるように、28という数は4と7の積で表せますよ～ってことですね。言い換えれば4と7で割り切れますよ～ってことです。
さて、本題に。
(1)で111111111111の約数である1,11,111,1111,111111,111111111111を考えました。
②の考え方を用いて、1と111111111111以外の数で111111111111を割ってみると、
111111111111÷11＝10101010101 111111111111÷111＝1001001001
111111111111÷1111＝100010001 111111111111÷111111＝100001
となって出てきます。
②の考え方から、ここで出てきた4つの商はすべて111111111111の約数ということになります。
今は7個列挙せよというお話ですから、あと3個考えなければいけません。
ここは①の考え方に基づいて、今出てきた商の約数について考えましょう。
すぐに約数が思いつきそうなものは・・・、10101010101です。この数の並び方から考えると、101と10101は数の規則的に思いつきそうです。実際に割り算すると、ちゃんと割り切れますね。
ということは、101と10101は111111111111の約数です。
あと1つ。
1001001001という数字に注目すると、上と同様に数の規則から1001で割り切れそうです。
割り算をすると、1001001001÷1001＝1000001
となりますから、1001も111111111111の約数です。これで7つ求めることができました。
答 101,1001,10101,100001,100010001,1001001001,10101010101
算数が好きな子は割り算を習ったときに、こういう割り算だったらどうなるんだろうだとか考えながら、やっていそうなテーマでした。学習したことを鵜呑みにせず、これだったらどうなるんだろうと、いろいろ試行錯誤できていた人にとっては、なんだ簡単じゃんとなりますが、そうでない人は、無限そうに見える解答から、この7つの解答を出すことは難しいでしょう。まさに、差のつく問題でした。
どうだったでしょう。実際に割り算をしてみれば割り切れるか割り切れないかすぐに判別はつきます。筆算をして気づくと思いますが、1が12個並んだ数を割り切る1しか使わない数は12を割り切る数だけ1を並べたものに限ります。
ということは、12の約数である、1,2,3,4,6,12個、1を並べた数はすべて約数になります。
答 1、11、111、1111、111111、111111111111は約数で、それ以外は約数ではない。
(2)
まず、考えなければいけないのは、約数の約数は約数であるということ（①）。
んん？とお思いの方はこういうことです。
例えば、18の約数の1つである9について考えます。また、9の約数には1,3,9が考えられます。この9の約数はすべて18を割り切ることができるので18の約数が9の約数になっていることが確認できました。
もうひとつ、元の数を約数で割った商も元の数の約数となるということ（②）。
例えば、28の約数の1つである4で28を割ってみると28÷4＝7となります。この7という商は・・・、28の約数になっていますね。これは検算してみるとわかりやすいでしょう。28＝4×7という式からも分かるように、28という数は4と7の積で表せますよ～ってことですね。言い換えれば4と7で割り切れますよ～ってことです。
さて、本題に。
(1)で111111111111の約数である1,11,111,1111,111111,111111111111を考えました。
②の考え方を用いて、1と111111111111以外の数で111111111111を割ってみると、
111111111111÷11＝10101010101 111111111111÷111＝1001001001
111111111111÷1111＝100010001 111111111111÷111111＝100001
となって出てきます。
②の考え方から、ここで出てきた4つの商はすべて111111111111の約数ということになります。
今は7個列挙せよというお話ですから、あと3個考えなければいけません。
ここは①の考え方に基づいて、今出てきた商の約数について考えましょう。
すぐに約数が思いつきそうなものは・・・、10101010101です。この数の並び方から考えると、101と10101は数の規則的に思いつきそうです。実際に割り算すると、ちゃんと割り切れますね。
ということは、101と10101は111111111111の約数です。
あと1つ。
1001001001という数字に注目すると、上と同様に数の規則から1001で割り切れそうです。
割り算をすると、1001001001÷1001＝1000001
となりますから、1001も111111111111の約数です。これで7つ求めることができました。
答 101,1001,10101,100001,100010001,1001001001,10101010101
算数が好きな子は割り算を習ったときに、こういう割り算だったらどうなるんだろうだとか考えながら、やっていそうなテーマでした。学習したことを鵜呑みにせず、これだったらどうなるんだろうと、いろいろ試行錯誤できていた人にとっては、なんだ簡単じゃんとなりますが、そうでない人は、無限そうに見える解答から、この7つの解答を出すことは難しいでしょう。まさに、差のつく問題でした。
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